Question

已知三點(diǎn)

(1)求以F₁、F₂為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P、F₁、F₂關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)分別為，求以為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

Answer 1

(1)由題意，可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞b＞0)，其半焦距c=6.

2a=|PF₁|+|PF₂|=.

∴a=，b²=a²-c²=45-36=9，所以所求方程為.

(2)點(diǎn)P(5，2)、F₁(-6，0)、F₂(6，0)關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)分別為P′(2，5)、F′₁(0，-6)、F′₂(0，6).

設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a₁＞0，b₁＞0).

由題意知，半焦距c₁=6，

2a₁=||P′F′₁|-| P′F′₂||=|-|=4.

∴a₁=2，=36-20=16.所以所求方程為.