Question

【題目】已知函數與函數的圖像關于直線對稱，函數 .

（Ⅰ）若，且關于的方程有且僅有一個解，求實數的值；

（Ⅱ）當時，若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】試題分析: ∵函數與函數的圖像關于直線對稱，∴，

∴

（Ⅰ）令，則，即

令，利用導數研究 的性質，可得，

又， ， 所以當函數有且僅有一個零點時， .

（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）知，

利用導數研究 的性質，可得是的極大值點.

∵

∴，即可求出實數的取值范圍.

試題解析:∵函數與函數的圖像關于直線對稱，∴，

∴

（Ⅰ）令，則，即

令，則，

令，則.

因為，所以 所以在上是減函數，

又，所以當時， ，當時， .

所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，

又， ，

所以當函數有且僅有一個零點時， ，∴.

（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）知，

易知，當時， 恒成立，等價于.

因為，令得，或

又，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，即是的極大值點.

∵

∴，即為所求.