Question

設函數f（x）=x（x-1）²，x＞0．
（1）求f（x）的極值；
（2）設0＜a≤1，記f（x）在（0，a]上的最大值為F（a），求函數G(a)=

F(a)

a

的最小值；
（3）設函數g（x）=lnx-2x²+4x+t（t為常數），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實數m有且只有一個，求實數m和t的值．

Answer 1

分析：（1）求導，令f′（x）=0得x=

1

3

或x=1，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0得f（x）的單調性，確定函數f（x）的極值．
（2）由（1）知f（x）的單調性，以極值點為界，把a分成兩類討論，在兩類分別求出F（a），求G（a），求G（a）最小值，兩個最小值最小者，即為所求．
（3）把連等式分成兩個不等式x+m-g（x）≥0和f（x）-x-m≥0在（0，+∞）上恒成立的問題，把不等式的左邊看作一個函數，利用導數求最小值，兩個范圍求交集再由實數m有且只有一個，可求m，進而求t．

解答：解：（1）f′（x）=（x-1）²+2x（x-1）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），x＞0．令f′（x）=0，得x=

1

3

或x=1，f（x），f′（x）隨x的變化情況如下表
∴當x=

1

3

時，有極大值f（

1

3

）=

4

27

，當x=1時，有極小值f（1）=0．
（2）由（1）知：f（x）在（0，

1

3

]，[1，+∞）上是增函數，在[

1

3

，1]上是減函數，
①0＜a≤

1

3

時，F（a）=a（a-1）²，G（a）=（a-1）²≥

4

9

特別的，當a=

1

3

時，有G（a）=

4

9

，
②當

1

3

＜a≤1時，F（a）=f（

1

3

）=

4

27

，G（a）=

4 27

a

≥

4

27

特別的，當a=1時，有G（a）=

4

27

，
由①②知，當0＜a≤1時，函數G(a)=

F(a)

a

的最小值為

4

27

．
（3）由已知得h₁（x）=x+m-g（x）=2x²-3x-lnx+m-t≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵h′1(x)=

(4x+1)(x-1)

x

，
∴x∈（0，1）時，h′₁（x）＜0，x∈（1，+∞）時，h₁（x）＞0
∴x=1時，h′₁（x）取極小值，也是最小值，
∴當h₁（1）=m-t-1≥0，m≥t+1時，h₁（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
同樣，h₂（x）=f（x）-x-m=x³-2x²-m≥0在（0，+∞）上恒成立，
∵h′₂（x）=3x（x-

4

3

），
∴x∈（0，

4

3

）時，h′₂（x）＜0，x∈（

4

3

，+∞），h′₂（x）＞0，
∴x=

4

3

時，h₂（x）取極小值，也是最小值，
∴h2(

4

3

)=-

32

27

-m≥0，m≤-

32

27

時，h₂（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴t+1≤m≤-

32

27

，
∵實數m有且只有一個，∴m=-

32

27

，t=-

59

27

．

點評：本題了考查導數與極值的關系，若f（a）=0：a的左側f'（x）＞0，a的右側f'（x）＜0則a是極大值點；a的左側f'（x）＜0，a的右側f'（x）＞0則a是極小值點；求F（a）時，要分類討論，在求參數的范圍時，經過兩次轉化為求函數的最值，使問題得以解決．