Question

（2012•福建）已知函數f（x）=e^x+ax²-ex，a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）試確定a的取值范圍，使得曲線y=f（x）上存在唯一的點P，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，可求a的值，令f′（x）=e^x-e＜0，可得函數f（x）的單調減區間；令f′（x）＞0，可得單調增區間；
（Ⅱ）設點P（x₀，f（x₀）），曲線y=f（x）在點P處的切線方程為y=f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀），令g（x）=f（x）-f′（x₀）（x-x₀）-f（x₀），曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P等價于g（x）有唯一零點，求出導函數，再進行分類討論：（1）若a≥0，g（x）只有唯一零點x=x₀，由P的任意性a≥0不合題意；（2）若a＜0，令h（x）=ex-ex0+2a(x-x0)，則h（x₀）=0，h′（x）=e^x+2a，可得函數的單調性，進而可研究g（x）的零點，由此可得結論．

解答：解：（Ⅰ）求導函數，可得f′（x）=e^x+2ax-e
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，
∴k=2a=0，∴a=0
∴f（x）=e^x-ex，f′（x）=e^x-e
令f′（x）=e^x-e＜0，可得x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1；
∴函數f（x）的單調減區間為（-∞，1），單調增區間為（1，+∞）
（Ⅱ）設點P（x₀，f（x₀）），曲線y=f（x）在點P處的切線方程為y=f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀）
令g（x）=f（x）-f′（x₀）（x-x₀）-f（x₀）
∵曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P，∴g（x）有唯一零點
∵g（x₀）=0，g′（x）=ex-ex0+2a(x-x0)
（1）若a≥0，當x＞x₀時，g′（x）＞0，∴x＞x₀時，g（x）＞g（x₀）=0
當x＜x₀時，g′（x）＜0，∴x＜x₀時，g（x）＞g（x₀）=0，故g（x）只有唯一零點x=x₀，由P的任意性a≥0不合題意；
（2）若a＜0，令h（x）=ex-ex0+2a(x-x0)，則h（x₀）=0，h′（x）=e^x+2a
令h′（x）=0，則x=ln（-2a），∴x∈（-∞，ln（-2a）），h′（x）＜0，函數單調遞減；x∈（ln（-2a），+∞），h′（x）＞0，函數單調遞增；
①若x₀=ln（-2a），由x∈（-∞，ln（-2a）），g′（x）＞0；x∈（ln（-2a），+∞），g′（x）＞0，∴g（x）在R上單調遞增
∴g（x）只有唯一零點x=x₀；
②若x₀＞ln（-2a），由x∈（ln（-2a），+∞），h（x）單調遞增，且h（x₀）=0，則當x∈（ln（-2a），x₀），g′（x）＜0，g（x）＞
g（x₀）=0
任取x₁∈（ln（-2a），x₀），g（x₁）＞0，
∵x∈（-∞，x₁），∴g（x）＜ax²+bx+c，其中b=-e+f′（x₀）．c=ex1-f(x0)+x0f′(x0)
∵a＜0，∴必存在x₂＜x₁，使得ax22+bx2+c＜0
∴g（x₂）＜0，故g（x）在（x₂，x₁）內存在零點，即g（x）在R上至少有兩個零點；
③若x₀＜ln（-2a），同理利用ex＞

x3

6

，可得g（x）在R上至少有兩個零點；
綜上所述，a＜0，曲線y=f（x）上存在唯一的點P，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P（ln（-2a），f（ln（-2a）））．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的零點，考查分類討論的數學思想，屬于難題．