Question

（2008•浦東新區一模）關于x的方程k•4^x-k•2^x+1+6（k-5）=0在區間[0，1]上有解，則實數k的取值范圍是

[5，6]

．

Answer 1

分析：換元：令t=2^x，則t∈[1，2]，原方程化為k•t²-2k•t+6（k-5）=0，根據題意，問題轉化為此方程在[1，2]上有零點，根據二次函數零點的判定方法即可求得結論．

解答：解：令t=2^x，則t∈[1，2]，
∴方程k•4^x-k•2^x+1+6（k-5）=0，化為：k•t²-2k•t+6（k-5）=0，
根據題意，此關于t的一元二次方程在[1，2]上有零點，
整理，得：方程k（t²-2t+6）=30，當t∈[1，2]時存在實數解
∴k=

30

t 2-2t+6

，當t∈[1，2]時存在實數解

∵t²-2t+6=（t-1）²+5∈[5，6]
∴k=

30

t 2-2t+6

∈[

30

6

，

30

5

] =[5，6]
故答案為[5，6]

點評：本題以指數型二次方程為例，考查了根的存在性及函數零點的知識點，屬于中檔題．請同學們注意解題過程中變量分離思路的應用，它可以化繁為簡、化難為易．