Question

（2008•浦東新區二模）問題：過點M（2，1）作一斜率為1的直線交拋物線y²=2px（p＞0）于不同的兩點A，B，且點M為AB的中點，求p的值．請閱讀某同學的問題解答過程：
解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，兩式相減，得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂）．又kAB=

y1-y2

x1-x2

=1，y₁+y₂=2，因此p=1．
并給出當點M的坐標改為（2，m）（m＞0）時，你認為正確的結論：

p=m（0＜m＜4）

．

Answer 1

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，兩式相減，得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂）．又kAB=

y1-y2

x1-x2

=1，y₁+y₂=2m所以p=m，將直線方程與拋物線的方程聯立，判別式大于0求出m的范圍．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
兩式相減，得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂）．
又kAB=

y1-y2

x1-x2

=1，y₁+y₂=2m
所以1=

2p

2m

所以p=m
因為

y2=2px y-m=x-2

消去x得
y²-2py+2pm-4p=0
即y²-2my+2m²-4m=0
△=4m²-4（2m²-4m）＞0
解得0＜m＜4
故答案為：p=m（0＜m＜4）

點評：解決直線與圓錐曲線相交有關弦中點的問題，常利用點差法來解決，但注意需要將直線的方程與圓錐曲線的方程聯立，判別式大于0．