Question

1．在直角坐標(biāo)系xOy中，B（-1，0），C（1，0），動(dòng)點(diǎn)A滿(mǎn)足$\frac{|AB|}{|AC|}$=m（m＞0且m≠1）．
（1）求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線(xiàn)；
（2）若m=$\sqrt{3}$，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)A的軌跡曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓：x²+（y-2）²=1的切線(xiàn)，切點(diǎn)為Q．試探究平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)R，使$\frac{|PQ|}{|PR|}$為定值，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)R的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)A滿(mǎn)足$\frac{|AB|}{|AC|}$=m，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，化簡(jiǎn)即可得到圓A的方程；
（2）設(shè)P，R的坐標(biāo)，利用直線(xiàn)和圓相切，建立方程關(guān)系，進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）設(shè)A（x，y），∵動(dòng)點(diǎn)A滿(mǎn)足$\frac{|AB|}{|AC|}$=m（m＞0且m≠1）．
∴$\frac{\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}$=m
化簡(jiǎn)得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：（x-$\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}-1}$）²+y²=$\frac{4{m}^{2}}{（{m}^{2}-1）^{2}}$
表示以（$\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}-1}$，0）為圓心，$\frac{2m}{|{m}^{2}-1|}$為半徑的圓．
（2）由（1）當(dāng)m=$\sqrt{3}$時(shí)，動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為：（x-2）²+y²=3，
設(shè)P（x，y）
∴x²+y²=4x-1
假設(shè)在平面內(nèi)存在點(diǎn)R（a，b）使得$\frac{|PQ|}{|PR|}$=λ（其中λ為正常數(shù)）
∴$\frac{\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}-1}}{\sqrt{（x-a）^{2}+（y-b）^{2}}}$=λ
化簡(jiǎn)得：x²+y²-4y+3=λ²（x²+y²）-2aλ²x-2bλ²y+λ²（a²+b²），
∵x²+y²=4x-1，
∴4x-4y+2=λ²（4-2a）x-2bλ²y+λ²（a²+b²-1），
對(duì)于任意滿(mǎn)足（x-2）²+y²=3的P（x，y）恒成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{{λ}^{2}（4-2a）=4}\\{2b{λ}^{2}=4}\\{{λ}^{2}（{a}^{2}+{b}^{2}-1）=2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{λ=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{λ=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$
∴存在點(diǎn)R（1，1）或（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）滿(mǎn)足題意

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用待定系數(shù)法求圓的方程，以及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．