Question

設(shè)函數(shù)f(x)=2mcos2x-2

3

msinx•cosx+n(m＞0)的定義域?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[0，

π

2

]，值域?yàn)閇1，4]．
（1）求m，n的值；
（2）若f（x）=2，求x的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)兩角和與差的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由x的范圍確定2x+

π

3

的范圍，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)表示出函數(shù)f（x）的值域，進(jìn)而可確定m，n的值．
（2）根據(jù)（1）求得函數(shù)f（x）的解析式，然后令f（x）=2，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)得到x的值．

解答：解：（1）f(x)=m(1+cos2x)-

3

msin2x+n
=2mcos(2x+

π

3

)+m+n．
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]
cos(2x+

π

3

)∈[-1，

1

2

]，
∵m＞0，2mcos(2x+

π

3

)∈[-2m，m]，
所以f（x）_max=2m+n=4，
f（x）_min=-m+n=1，
m=1，n=2
（2）由（1）可知，m＞0時(shí)，
f(x)=2cos(2x+

π

3

)+3=2所以cos(2x+

π

3

)=-

1

2

，結(jié)合定義域?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[0，

π

2

]，
解得x=

π

6

或x=

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和與差的公式的應(yīng)用和余弦函數(shù)的值域的求法．考查對(duì)余弦函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用．三角函數(shù)的基本性質(zhì)是高考中的重要考點(diǎn)，要注意復(fù)習(xí)．