Question

已知三次函數f（x）=x³+ax²-6x+b，a、b為實數，f（0）=1，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線的斜率為-6．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若f（x）≤|2m-1|對任意的x∈（-2，2）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數的導數，進而根據f'（1）=-6求出a的值，然后根據f（0）=1，求出b的值即可求出函數的解析式；
（2）先利用導數判斷函數的單調性，進而求出函數在區間（-2，2）內的最大值，再解不等式即可．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax-6  …（1分）
由導數的幾何意義，f'（1）=-6
∴a=-

3

2

 …（2分）
∵f（0）=1∴b=1  …（3分）
∴f（x）=x³-

3

2

x²-6x+1  …（4分）
（2）f'（x）=3x²-3x-6=3（x+1）（x-2）
令f'（x）=0得x₁=-1，x₂=2   …（5分）
當x∈（-2，-1）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
當x∈（-1，2）時，f'（x）＜0，f（x）遞減．…（7分）
∴在區間（-2，2）內，函數f（x）的最大值為f（-1）=

9

2

  …（8分）
∵f（x）≤|2m-1|對任意的x∈（-2，2）恒成立
∴|2m-1|≥

9

2

  …（10分）
∴2m-1≥

9

2

 2m-1≤-

9

2

∴m≥

11

4

或m≤-

7

4

   …（12分）

點評：本題的考查了導數的幾何意義、導數的求法以及函數恒成立問題，對于函數恒成立問題一般轉化成求函數的最值問題，屬于中檔題．