Question

已知函數F(x)=

∫

x 0

(t2-t-2)dt，則F（x）的極小值為（　　）

• A．-

  10

  3

• B．

  10

  3

• C．-

  13

  6

• D．

  13

  6

Answer 1

分析：先用微積分基本定理算出F（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-2x，再利用導數研究F'（x）=x²-x-2的正負，得到函數F（x）的單調性，從而得到F（x）的極小值．

解答：解：根據微積分基本定理，得
F(x)=

∫

x 0

(t2-t-2)dt=

1

3

x3-

1

2

x2-2x
∵F'（x）=x²-x-2=（x+1）（x-2）
∴當x∈（-1，2）時，F'（x）＜0；當x∈（-∞，-1）或x∈（2，+∞）時，F'（x）＞0
由此可得，F（x）的增區間是（-∞，-1）和（2，+∞）；減區間是（-1，2）
∴F（x）的極小值為F（2）=

1

3

×2³-

1

2

×2²-2×2=-

10

3

故選：A

點評：本題給出F（x）是一個函數的原函數，求F（x）表達式并求極小值，著重考查了定積分運算公式和函數求極值等知識，屬于基礎題．