Question

已知向量

a

=(sinx，1)，

b

=(sinx，

3

2

cosx)
（1）當x=

π

3

時，求

a

與

b

的夾角θ的余弦值；
（2）若x∈[

π

3

，

π

2

]，求函數(shù)f(x)=

a

•

b

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式、以及兩個向量的夾角公式求得cosθ的值．
（2）利用兩個向量的數(shù)量積公式求得f（x）=-(cosx-

3

4

)2+

25

16

，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)f(x)=

a

•

b

的最大值和最小值．

解答：解：（1）當x=

π

3

時，由 兩個向量夾角公式可得
cosθ=

a • b

| a |•| b |

=

( 3 2 ，1)•( 3 2 ， 3 4 )

3 4 +1 3 4 + 9 16

=

3 4 + 3 4

7 3 8

=

4 3

7

．
（2）f(x)=

a

•

b

=-(cosx-

3

4

)2+

25

16

，又x∈[

π

6

，

π

2

]，則cosx∈[0，

3

2

]，
故當cosx=0時，有f（x）_min=1．  當cosx=

3

4

時，有f(x)max=

25

16

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，兩個向量坐標形式的運算，兩個向量夾角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．