Question

18．在含有3件次品的100件產品中，任取2件，求：
（Ⅰ）取到的次品數X的分布列（分布列中的概率值用分數表示，不能含組合符號）；
（Ⅱ）至少取到1件次品的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）從100件產品中任取2件的結果數為$C_{100}^2$，X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）根據隨機變量X的分布列，能求出至少取到1件次品的概率．

解答 （本題滿分12分）
解：（Ⅰ）因為從100件產品中任取2件的結果數為$C_{100}^2$，
從100件產品中任取2件其中恰有k件次品的結果數為$C_3^kC_{97}^{2-k}$，
所以從100件產品中任取2件，其中恰有k件次品的概率為$P（X=k）=\frac{{C_3^kC_{97}^{2-k}}}{{C_{100}^2}}，k=0，1，2$．
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{97}^{2}}{{C}_{100}^{2}}=\frac{776}{825}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{97}^{1}}{{C}_{100}^{2}}$=$\frac{97}{1650}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{97}^{0}}{{C}_{100}^{2}}$=$\frac{1}{1650}$，（4分）
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{776}{825}$	$\frac{97}{1650}$	$\frac{1}{1650}$

（8分）
（Ⅱ）根據隨機變量X的分布列，
可得至少取到1件次品的概率為：
P（X≥1）=P（X=1）+P（X=2）=$\frac{97}{1650}+\frac{1}{1650}=\frac{49}{825}$．（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．