Question

設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列（），是前項(xiàng)和. 記，，其中為實(shí)數(shù).
（1）若，且，，成等比數(shù)列，證明：；
（2）若是等差數(shù)列，證明.

Answer 1

見解析

[證明]（1）由題設(shè)，，由，得，又，，成等比數(shù)列，∴，即，化簡得，∵，∴.
因此對于所有的，
從而對于所有的，.
（2）設(shè)數(shù)列的公差為，則，即，，
代入的表達(dá)式，整理得，對于所有的有，
令，，，則對于所有的有，
在上式中取，
∴，
從而有，由②③得，代入①得，
從而，即，，，
若，則由得，與題設(shè)矛盾，∴，又，∴.
【考點(diǎn)定位】本小題主要考查等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)、求和等基礎(chǔ)知識，考查分析轉(zhuǎn)化以及推理論證能力.