Question

（2008•浦東新區二模）已知函數f （x ）=

x+a

x+2

（a為常數）．
（1）解不等式f（x-2）＞0；
（2）當x∈[-1，2]時，f （x）的值域為[

5

4

，2]，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用函數表達式，將x-2代入，變成關于x的分式不等式，再通過討論字母a的取值范圍，可以得出解集的三種不同情形；
（2）在（1）的結論下，根據函數的單調性，分別解不等式組：

f(-1)=2 f(2)= 5 4

或

f(2)=2 f(-1)= 5 4

，再通過解出的a值看符不符合大前提，最終可以得出滿足條件的a值．

解答：解：（1）f(x-2)=

x-(2-a)

x

＞0
當2-a＞0，即a＜2時，不等式的解為：x＜0或x＞2-a------------------------（2分）
當2-a=0，即a=2時，不等式的解為：x≠0且x∈R-------------------------（4分）
當2-a＜0，即a＞2時，不等式的解為：x＜2-a或x＞0-----------------------（6分）
（2）f(x)=

x+a

x+2

=1+

a-2

x+2

-----------------------------------------------------（7分）
①a＞2時，f（x）單調遞減，-------------（8分），
所以

-1+a -1+2 =2 2+a 2+2 = 5 4

⇒a=3------（10分）
②a=2時，不符合題意----------------------------------------------------------------------（11分）
③a＜2時，f（x）單調遞增，-----------（12分），所以

-1+a -1+2 = 5 4 2+a 2+2 =2

⇒a無解------（14分）
所以，a=3

點評：本題以一次分式函數為載體，考查了函數最值的應用，屬于難題．根據字母參數的取值，合理地進行分類討論，從而找出問題的解答，討論時應注意相應的大前提．