Question

【題目】如圖，經(jīng)過村莊A有兩條互相垂直的筆直公路AB和AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路圍成的直角區(qū)域內(nèi)建一工廠P，為了倉庫存儲和運(yùn)輸方便，在兩條公路上分別建兩個倉庫M，N（異于村莊A，將工廠P及倉庫M，N近似看成點(diǎn)，且M，N分別在射線AB，AC上），要求MN=2，PN=1（單位：km），PN⊥MN．
（1）設(shè)∠AMN=θ，將工廠與村莊的距離PA表示為θ的函數(shù)，記為l（θ），并寫出函數(shù)l（θ）的定義域；
（2）當(dāng)θ為何值時，l（θ）有最大值？并求出該最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點(diǎn)P作PD⊥AC，垂足為D，連結(jié)PA．

在Rt△MAN中，sinθ= = ，故NA=2sinθ，

在Rt△PND中，∠PND=θ，sinθ= = ，cosθ= = ，

故PD=sinθ，ND=cosθ．

在Rt△PDA中，PA= =

= ，

所以l（θ）= ，

函數(shù)l（θ）的定義域?yàn)椋?， ）．

（2）解：由（1）可知，l（θ）= ，

即l（θ）= =

= = = ，

又θ∈（0， ），故2θ﹣ ∈（﹣ ， ），所以當(dāng)2θ﹣ = ，

即θ= 時，sin（2θ﹣ ）取最大值1，

l（θ）max= =1+ ．

答：當(dāng)θ= 時，l（θ）有最大值，最大值為1+ ．

【解析】（1）過點(diǎn)P作PD⊥AC，垂足為D，連結(jié)PA．運(yùn)用直角三角形中銳角三角函數(shù)的定義，求得PD，ND，PA；（2）運(yùn)用同角的平方關(guān)系和二倍角公式及兩角和差函數(shù)公式，化簡函數(shù)式，再由正弦函數(shù)的圖形和性質(zhì)，可得最大值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的最值及其幾何意義(利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值)．