Question

已知函數(shù)，.
(1)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅱ） () ．

試題分析：（I）因?yàn)椋�函�?shù)，.
所以=－lnx，其定義域?yàn)椋?，+）。，
當(dāng)a=0時(shí)，由f′（x）＞0，得，，故f（x）在（，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，）單調(diào)遞減；
當(dāng)a>0時(shí)，由f′（x）＞0，得，，故f（x）在（，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，）單調(diào)遞減；
當(dāng)a<0時(shí)，由f′（x）＞0，得，，故f（x）在（，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，）單調(diào)遞減。
（Ⅱ）把方程整理為，
即為方程.       5分
設(shè) ，原方程在區(qū)間()內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, 即為函數(shù)在區(qū)間()內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).           6分
         7分
令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824011617401398.png" style="vertical-align:middle;" />，解得或（舍）             8分
當(dāng)時(shí), , 是減函數(shù)；當(dāng)時(shí), ，是增函數(shù) 10分
在()內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的零點(diǎn), 只需 
即 ∴
解得, 所以的取值范圍是() ．
點(diǎn)評：難題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，明確了極值情況。（I）中要對a的不同取值情況加以討論，在解不等式取舍過程中易于出錯(cuò)。涉及不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化成了研究函數(shù)的最值，通過構(gòu)建a的不等式組，求得a的范圍。涉及對數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。