Question

設數列a₁，a₂，…，a_n，…中的每一項都不為0，證明，{a_n}為等差數列的充分必要條件是：對任何n∈N₊都有。

Answer 1

證明：先證必要性：
設數列{a_n}的公差為d，若d=0，則所述等式顯然成立；
若d≠0，
則


；
再證充分性：(數學歸納法)設所述的等式對一切n∈N₊都成立，
首先，在等式，①
兩端同乘a₁a₂a₃，即得a₁+a₃=2a₂，所以a₁，a₂，a₃成等差數列，
記公差為d，則a₂=a₁+d，
假設a_k=a₁+(k-1)d，當n=k+1時，觀察如下二等式
，②
，③
將②代入③，得，
在該式兩端同乘a₁a_ka_k+1，得(k-1)，
將a_k=a₁+(k-1)d代入其中，整理，得a_k+1=a₁+kd，
由數學歸納法原理知，對一切n∈N₊，都有a_n=a₁+(n-1)d，所以{a_n}是公差為d的等差數列．