Question

設數列a₁，a₂，…，a_n，…滿足a₁=a₂=1，a₃=2，且對任何自然數n，都有a_na_n+1a_n+2≠1，又a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，則a₁+a₂+…+a₁₀₀的值是

200

．

Answer 1

分析：由a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3 可得a_n+1a_n+2a_n+3a_n+4=a_n+1+a_n+2+a_n+3+a_n+4相減可得a_n+4=a_n，再由已知可推得數列為，1，1，2，4循環出現，故可求解a₁+a₂+…+a₁₀₀的值

解答：解：∵對任何自然數n，都有a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3  ①∴a_n+1a_n+2a_n+3a_n+4=a_n+1+a_n+2+a_n+3+a_n+4，②
②-①，得a_na_n+1a_n+2（a_n+4-a_n）=a_n+4-a_n，即（a_n+4-a_n）（a_na_n+1a_n+2-1）=0
由已知a_na_n+1a_n+2≠1，即a_na_n+1a_n+2-1≠0，只能a_n+4-a_n=0，即得a_n+4=a_n．
又a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，a₁=a₂=1，a₃=2，得a₄=4．
故數列為，1，1，2，4的循環出現
∴a₁+a₂+…+a₁₀₀=25（1+1+2+4）=200．
故答案為：200

點評：本題為數列的求和問題，由題意推出故數列為，1，1，2，4的循環是解決問題的關鍵，屬中檔題．