Question

1．設S_n為數列{a_n}的前n項和，若2a_n+（-1）ⁿ•a_n=2ⁿ+（-1）ⁿ•2ⁿ（n∈N*），則S₁₀=$\frac{2728}{3}$．

Answer 1

分析 由2a_n+（-1）ⁿ•a_n=2ⁿ+（-1）ⁿ•2ⁿ，得當n=2k-1（k∈N^*）時，可得a_2k-1=0．當n=2k時，$3{a}_{2k}={2}^{2k+1}$，即a_2k=$\frac{{2}^{2k+1}}{3}$．再利用等比數列的前n項公式即可得出答案．

解答 解：∵2a_n+（-1）ⁿ•a_n=2ⁿ+（-1）ⁿ•2ⁿ，
∴當n=2k-1（k∈N^*）時，2a_2k-1-a_2k-1=0，即a_2k-1=0．
當n=2k時，$3{a}_{2k}={2}^{2k+1}$，即a_2k=$\frac{{2}^{2k+1}}{3}$．
∴S₁₀=a₂+a₄+…+a₁₀
=$\frac{{2}^{3}+{2}^{5}+…+{2}^{11}}{3}$=$\frac{\frac{8（{4}^{5}-1）}{4-1}}{3}$=$\frac{2728}{3}$．
故答案為：$\frac{2728}{3}$．

點評 本題考查了等比數列的前n項公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．