Question

已知函數(shù)f（x）定義在R上，并且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y時(shí)，f（x）≠f（y），x＞0時(shí)，有f（x）＞0．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=1，解關(guān)于x的不等式f(x)-f(

1

x-1

)≥2．

Answer 1

（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，
不妨設(shè)x=y=0，則f（0）=0，
令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）
?f（x）+f（-x）=0
?f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函數(shù)；
（2）∵f（1）=1，f（x+y）=f（x）+f（y）
∴f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2）=2，
不等式化為f(x)＞f(

1

x-1

)+2?f(x)＞f(

1

x-1

)+f(2)?f(x)＞f(

1

x-1

+2)（*）
∵當(dāng)x≠y時(shí)，f（x）≠f（y），
x＞0時(shí)，有f（x）＞0，
設(shè)x₂＞x₁＞0則：f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=f（2x₂）+f（-x₁-x₂）=f（x₂-x₁），又x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0
即f（x₂）-f（x₁）＞0?f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在（0，+∞）上遞增，由f（x）為奇函數(shù)，
∴x＜0時(shí)必有f（x）＜0，加之f（0）=0，
于是f（x）在R上為增函數(shù)．
根據(jù)（*）式不等式化為：x＞

1

x-1

+2?（x-1）（x²-3x+1）＞0，
利用穿針線法得：
不等式的解集為：{x|

3- 5

2

＜x＜1或x＞

3+ 5

2

}．