Question

已知橢圓中心在坐標原點，短軸長為2，一條準線l的方程為x=2．
（1）求橢圓方程；
（2）設O為坐標原點，F是橢圓的右焦點，點M是直線l上的動點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由短軸和準線方程求出b和a的值，據焦點在x軸上寫出橢圓的方程．
（2）用點斜式寫出FN的方程，再由ON⊥NM，斜率之積等于-1得到一個等式，把FN的方程代入等式化簡，
可得x²+y²=4，所以線段ON的長為定值2．
解答：解：（1）由題意知，b=1，=2，∴a=，c=1，焦點在x軸上，
∴橢圓的方程為+y²=1．
（2）證明：∵F（1，0），點M（2，m），FN的方程為：y-0=（x-1）①，
∵過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，
∴ON⊥NM，∴K_ON•K_NM=-1，
即•=-1，∴x²+y²=2x+my  ②，
把①代入②得：x²+y²=2x+my=2x+m•（x-1）=2，
∴|ON|==，
∴線段ON的長為定值．
說明：若學生用平面幾何知識（圓冪定理或相似形均可）也得分，設垂足為P，準線l與x軸交于Q，則有ON²=OP•OM，又OP•OM=OF•OQ=2，所以為定值．
點評：本題考查橢圓的方程、直線和圓的位置關系的應用．