Question

已知函數f（x）=

2

x

-xa，且f（2）=-7．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）若方程f（x）+m=0在x∈[1，4]上有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意把x=2代入f（x）列出方程，求解即可；
（2）由（1）得求出f（x）的解析式，再求出函數的定義域，再求出f（-x）判斷與f（x）的關系，即可得答案；
（3）將條件轉化為“m=-f（x）在x∈[1，4]上有解”，再判斷函數g(x)=-f(x)=x3-

2

x

的單調性，求出值域，即可得到m的范圍．

解答：解：（1）由題意得f（2）=-7，把x=2代入f（x）得

2

2

-2a=-7，解得a=3，
（2）由（1）得f(x)=

2

x

-x3，且函數的定義域為{x|x≠0}，
又f（-x）=-

2

x

+x3=-f（x），所以函數f（x）奇函數，
（3）由題意得“f（x）+m=0在x∈[1，4]上有解”轉化為“m=-f（x）在x∈[1，4]上有解”，
設g(x)=-f(x)=x3-

2

x

，g（x）在[1，4]上遞增，
則m的范圍是g（x）的值域，即 m∈[-1，   

127

2

]．

點評：本題考查了函數的奇偶性判斷，方程的解轉化為求函數的值域問題，屬于中檔題．