Question

已知點(diǎn)M（4，1），點(diǎn)F為拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，若|PF|+|PM|取最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，結(jié)合拋物線定義可得過(guò)M作準(zhǔn)線的垂線，垂線與拋物線的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，由此求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答： 解：由拋物線方程可知，F(xiàn)（1，0），準(zhǔn)線x=-1，
如圖，
M在拋物線y²=4x的內(nèi)部，
根據(jù)拋物線定義知道，|PF|等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，
∴過(guò)M作準(zhǔn)線的垂線，垂線與拋物線的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，
∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，由y²=4x，得x=

1

4

．
即P（

1

4

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了拋物線中的最值問(wèn)題，處理這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，是中檔題．