Question

已知P（x，y）為函數y=lnx圖象上一點，O為坐標原點，記直線OP的斜率f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令g（x）=x²-ax•f（x），試討論函數g（x）在區間（1，e^a）上零點的個數（e為自然對數的底數，e=2.71828…）．

Answer 1

（Ⅰ）由題意知f（x）=

lnx

x

，
∴f′（x）=

1-lnx

x2

當x∈（0，e）時，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上遞增；
當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）上遞減；
所以，f（x）的最大值為f（e）=

1

e

．…（4分）
（Ⅱ）∵e^a＞1
∴a＞0，且e^a-a＞0
因為g（x）=x²-ax•f（x）=g（x）=x²-alnx，
所以g′（x）=2x-

a

x

=

2x2-a

x

=

2(x- 2a 2 )(x+ 2a 2 )

x

．
當x∈（0，

2a

x

）時，g′（x）＜0，當x∈（

2a

x

，+∞）時，g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，

2a

x

）上是減函數，在（

2a

x

，+∞）上是增函數．
所以，當x=

2a

x

時，g（x）取最小值g（

2a

x

）=

a

2

（1-ln

a

2

）        …（7分）
下面討論函數g（x）的零點情況．  
①當

a

2

（1-ln

a

2

）＞0，即0＜a＜2e時，
函數g（x）在（1，e^a）上無零點；
②當

a

2

（1-ln

a

2

）=0，即a=2e時，

2a

2

=

e

，
又

a

2

＜a＜e^a＜e^2a
∴

2a

2

＜e^a，則1＜

2a

2

＜e^a，
而g（1）=1＞0，g（

2a

2

）=0，g（e^a）＞0
∴g（x）在（1，e^a）上有一個零點；
③當

a

2

（1-ln

a

2

）＜0，即a＞2e時，e^a＞

2a

2

＞

e

＞1，
由于g（1）=1＞0，g（

2a

x

）=

a

2

（1-ln

a

2

）＜0，
g（e^a）＞e^2a-alne^a=e^2a-a²=（e^a-a）（e^a+a）＞0，
所以，函數g（x）在（1，e^a）上有兩個零點．
綜上所述，g（x）在（1，e^a）上，有結論：
當0＜a＜2e時，函數g（x）無零點；
當a=2e 時，函數g（x）有一個零點；
當a＞2e時，函數g（x）有兩個零點．…（10分）