Question

已知函數f（x）=3^x+k（k為常數），A（-2k，2）是函數y=f^-1（x）圖象上的點．
（1）求實數k的值及函數f^-1（x）的解析式；
（2）將y=f^-1（x）的圖象按向量a=（3，0）平移，得到函數y=g（x）的圖象，若2 f^-1（x+-3）-g（x）≥1恒成立，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據A（-2k，2）是函數y=f^-1（x）圖象上的點，求得實數k的值，再求原函數的反函數即可．解答本題首先熟悉反函數的概念，然后根據反函數求解三步驟：1、換：x、y換位，2、解：解出y，3、標：標出定義域，據此即可求得反函數．
（2）要使2f^-1（x+-3）-g（x）≥1恒成立，分離出參數m后得：x++2≥3在x＞0時恒成立，利用只要（x++2）_min≥3．即可，從而求實數m的取值范圍．
解答：解：（1）∵A（-2k，2）是函數y=f^-1（x）圖象上的點，
∴B（2，-2k）是函數y=f（x）上的點．
∴-2k=3²+k．∴k=-3．
∴f（x）=3^x-3．
∴y=f^-1（x）=log₃（x+3）（x＞-3）．

（2）將y=f^-1（x）的圖象按向量a=（3，0）平移，
得到函數y=g（x）=log₃x（x＞0），
要使2f^-1（x+-3）-g（x）≥1恒成立，
即使2log₃（x+）-log₃x≥1恒成立，
所以有x++2≥3在x＞0時恒成立，只要（x++2）_min≥3．
又x+≥2（當且僅當x=，即x=時等號成立），
∴（x++2）_min=4，即4≥3．∴m≥．
點評：本題主要考查反函數、函數恒成立問題．求反函數，一般應分以下步驟：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交換x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函數的定義域（一般可通過求原函數的值域的方法求反函數的定義域）．