Question

（2009•浦東新區一模）若a、b是正數，則(3a+

1

b

)2+(3b+

1

a

)2的最小值為

24

．

Answer 1

分析：連續用基本不等式求最小值，由題設知  (3a+

1

b

)2+(3b+

1

a

)2≥2（3a+

1

b

）（3b+

1

a

）=2（9ab+

1

ab

）+12，其中等號成立的條件是a=b，又（9ab+

1

ab

）≥2

9ab× 1 ab

= 6．
等號成立的條件是條件是9ab=

1

ab

 與a=b聯立得兩次運用基本不等式等號成立的條件是x=y=

3

3

，計算出最值是24．

解答：解：∵a，b是正數，
∴(3a+

1

b

)2+(3b+

1

a

)2≥2（3a+

1

b

）（3b+

1

a

）=2（9ab+

1

ab

）+12
等號成立的條件是3a+

1

b

=3b+

1

a

解得a=b，①
又（9ab+

1

ab

）≥2

9ab× 1 ab

= 6．
等號成立的條件是9ab=

1

ab

 ②
由①②聯立解得x=y=

3

3

，
即當x=y=

3

3

時，(3a+

1

b

)2+(3b+

1

a

)2的最小值為2×+12=24
故答案為：24

點評：本題考查基本不等式，解題過程中兩次運用基本不等式，注意驗證兩次運用基本不等式時等號成立的條件是否相同，若相同時，代數式才能取到計算出的最小值，否則最小值取不到．本題是一道易錯題．