Question

（2011•湖北模擬）設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（其中a＞b＞0）的離心率分別為e₁，e₂有下列結論：①e₁e₂＜1；②e₁²+e₂²=2；③e₁e₂＞1；④e₁e₂=1；⑤e₁+e₂＜2
其中正確的是

①②⑤

．

Answer 1

分析：利用橢圓和雙曲線的性質分別表示出e₁和e₂，進而得到e₁²+e₂²=2，再根據e₁，e₂均大于0，故求m=e₁+e₂的范圍可先求m平方的范圍即求e₁²+e₂²+2e₁e₂的范圍，而e₁²+e₂²=2，再根據a＞b＞0推斷出 0＜

b

a

＜1，進而求得e₁e₂的表達式，求得e₁e₂的范圍，代入m²=e₂¹+e₂²+2e₁e₂中，求得m²的范圍．即可得到答案．

解答：解：由題意得：
e₁=

a2-b2

a

＞0，e₂=

a2+b2

a

＞0
∴e₁²+e₂²=2，②正確；
∵m=e₁+e₂
∴m²=e₂¹+e₂²+2e₁e₂
即m²=2+2e₁e₂=2+2

a4-b4

a2

=2+2

1-( b a )4

∵a＞b＞0
∴0＜

b

a

＜1
∴0＜e₁e₂＜1，故①正確，③④錯誤；
即2＜m²＜4
即

2

＜m＜2，故⑤正確．
故答案為：①②⑤．

點評：本小題主要考查雙曲線的簡單性質、橢圓的簡單性質、基本不等式等基礎知識，本題采用了轉化思想，通過求解變量的平方從而解決了問題，是解決問題常用的手段，屬于基礎題．