Question

已知函數y=f（x），x∈R，有下列4個命題：
①若f（1+2x）=f（1-2x），則y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
②y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱；
③若y=f（x）為偶函數，且y=f（2+x）=-f（x），則y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱；
④若y=f（x）為奇函數，且f（x）=f（-x-2），則y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
其中正確命題的個數為

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

C
分析：①先用換元法將f（1+2x）=f（1-2x）轉化，再由轉化后的形式判斷對稱軸的方程．
②y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱可轉化為證明y=f（x）與y=f（-x）的圖象關于直線x=0對稱的問題，再結合圖象的平移知識進行判斷．
③用-x換x，由題設條件和偶函數的性質得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x），故f（x）的圖象關于直線x=2對稱．
④用-x換x，由題設條件和奇函數的性質得，f（-x）=f（x-2），故y=f（x）的圖象關于直線x=-1對稱．
解答：①令t=1+2x，可得2x=t-1，代入f（1+2x）=f（1-2x）得f（t ）=f（2-t）
由于|t-1|=|2-t-1|，故可知函數y=f（x）圖象關于直線x=1對稱
即y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，故①是真命題．
②由題設知y=f（2-x）=f[-（x-2）]
由于函數y=f（x）與y=f（-x）的圖象關于直線x=0對稱，
又y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象可由函數y=f（x）與y=f（-x）的圖象右移動2個單位而得到，
∴y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱，故②是真命題．
③f（x）為偶函數，且f（2+x）=-f（x），用-x換x得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x）
∴f（x）的圖象關于直線x=2對稱，故③是真命題．
④∵y=f（x）為奇函數，且f（x）=f（-x-2），用-x換x得，f（-x）=f（x-2），
∴y=f（x）的圖象關于直線x=-1對稱，故④是假命題．
故選C．
點評：本題考查命題的真假判斷與應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意函數的對稱性、平移變換、奇偶性的合理運用．