Question

如圖，在正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，E為AB的中點.

（1）求直線B₁C與DE所成角的余弦值；

（2）求證：平面EB₁D⊥平面B₁CD；

（3）求二面角E―B₁C―D的余弦值.

                 

Answer 1

解法1：（1）取A₁D，則A₁D//B₁C知，B₁C與DE

所成角即為A₁D與DE所成角

連結A₁E.由正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁，可設其棱長為a，

（2）取B₁C的中點F，B₁D的中點G，連結BF，EG，GF.

∵GF，BECD，

∴BEGF，∴四邊形BFGE是平行四邊形，

∴BF//GE.

（3）連結EF.

解法2：如圖建立空間直角坐標系A―xyz.

則A（0，0，0），B（2a，0，0）,C(0，2a，0)

A₁（0，0，2a），B（2a，2，2a），C₁（0，2a，2a）

（1）取AB的中點H，連結CH.

（3）設平面AB₁E的一個法向量為

由于平面AEF的一個法向量為

故設與m所成角為.

由于平面AB₁E與平面AEF所成的二面角為銳二面角，

的平面角的余弦值為

.