【題目】如圖，已知
是橢圓
的左、右焦點，橢圓的短軸長為
，點
是橢圓
上的一點，過點作
軸的垂線交橢圓于另一點
（
不過點
），且
的周長的最大值為8.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若過焦點
，在橢圓上取兩點
，連接
，與軸的交點分別為
，過點作橢圓的切線
，當四邊形
為菱形時，證明：直線
.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
（1）根據短軸長求得
，由周長最小值可求得
，進而得橢圓的標準方程.
（2）設
，
，
，
，求得過點
的切線
的方程，確定其斜率；而當四邊形
為菱形時
，設直線
和
的方程，聯立橢圓后由韋達定理表示出
.由斜率公式表示出直線
的斜率，即可證明直線
.
（1）由題意可得
，
的周長
，
當且僅當
經過點
時，等號成立，
故
，即
，
所以橢圓的標準方程為.
（2）證明：不妨設，，，，
根據點斜式，可設過Q的切線方程為
，
則
，化簡可得
，
因為相切，所以
，
化簡可得
，
解得
，
由題意可知，
的斜率均存在，
故當四邊形為菱形時.
設直線
，
聯立
化簡得
.
由韋達定理有
，則
，
同理可得
，
，
直線的斜率
，
代入化簡得
，
所以
，又因為兩直線不可能重合，
所以直線.
應用題點撥系列答案
狀元及第系列答案
同步奧數系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
的圖象為C,下面結論正確的是( )
A.函數f(x)的最小正周期是2π.
B.函數f(x)在區間
上是遞增的
C.圖象C關于點
對稱
D.圖象C由函數g(x)=sin2x的圖象向左平移
個單位得到
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線C的參數方程為
（
為參數），P是曲線C上的點且對應的參數為
，
.直線l過點P且傾斜角為
.
（1）求曲線C的普通方程和直線l的參數方程.
（2）已知直線l與x軸，y軸分別交于
，求證：
為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若數列{an}滿足:對任意n∈N*,均有an=bn+cn成立,且{bn},{cn}都是等比數列,則稱(bn,cn)是數列{an}的一個等比拆分.
（1）若an=2n,且(bn,bn+1)是數列{an}的一個等比拆分,求{bn}的通項公式;
（2）設(bn,cn)是數列{an}的一個等比拆分,且記{bn},{cn}的公比分別為q1,q2;
①若{an}是公比為q的等比數列,求證:q1=q2=q;
②若a1=1,a2=2,q1q2=﹣1,且對任意n∈N*,an+13<anan+1an+2+an+2﹣an恒成立,求a3的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知O為坐標原點，拋物線C：y2=8x上一點A到焦點F的距離為6，若點P為拋物線C準線上的動點，則|OP|+|AP|的最小值為（ ）
A. 4B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程是
．
（1）寫出曲線的普通方程和的直角坐標方程；
（2）求上的點到距離的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知等比數列{an}的前n項和為Sn，且a1+a3＝30，2S2是3S1和S3的等差中項．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{bn}滿足
，求數列{bn}前n項和Tn．
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