Question

【題目】在棱長為2的正方體中.

（1）求幾何體的表面積；

（2）若分別是棱的中點，求證： 平面.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）先證明幾何體是每個面都是正三角形的四面體，再利用正三角形面積公式可得結果；（2）取的中點，連，根據三角形中位線定理可證明四邊形為平行四邊形，從而可得，再根據線面平行的判定定理即可證明平面.

試題解析：（1）∵是棱長為2的正方體，

所以,故幾何體是每個面都是正三角形的四面體，三角形的面積是 ，所以幾何體的表面積是 .

(2)法一：證明：取的中點，連，

∵， ，

∵， ，

∴， ，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面.

法二

證明：取B1C1的中點M，連接ME，MF，

在△D1B1C1中，MF分別是邊B1C1，D1C1的中點，

∴MF∥D1B1，又平面DBB1D1，D1B1平面DBB1D1，

∴MF∥平面DBB1D1，

在正方形BCC1B1中，∵ME是對邊B1C1，BC的中點，∴BE∥B1M，BE=B1M，

∴四邊形BEMB1是平行四邊形，所以ME∥BB1，

又平面DBB1D1，BB1平面DBB1D1，

∴ME∥平面DBB1D1，又

所以平面MEF∥平面DBB1D1，且平面MEF

所以EF∥平面DBB1D1，

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及三棱錐的表面積，屬于難題. 證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（2）是就是利用方法①證明的.