Question

點Q在x軸上，若存在過Q的直線交函數y=2^x的圖象于A，B兩點，滿足

QA

=

AB

，則稱點Q為“Ω點”，那么下列結論中正確的是（　　）

A．x軸上僅有有限個點是“Ω點”

B．x軸上所有的點都是“Ω點”

C．x軸上所有的點都不是“Ω點”

D．x軸上有無窮多個點（但不是所有的點）是“Ω點”

Answer 1

分析：設Q（a，0），A(x1，2x1)，B(x2，2x2)，由

QA

=

AB

可得x₂=2x₁-a，2x2=2×2x1，得x₁=a+1，x₂=a+2，進而得到對于x軸上任意Q（a，0）點，總有A（a+1，2^a+1），B（a+2，2^a+2）滿足題設要求．

解答：解：設Q（a，0），A(x1，2x1)，B(x2，2x2)，
所以

QA

=(x1-a，2x1)，

AB

= (x2-x1，2x2-2x1)．
因為

QA

=

AB

，
所以x₂=2x₁-a，2x2=2×2x1，得x₁=a+1，x₂=a+2．
即對于x軸上任意Q（a，0）點，總有A（a+1，2^a+1），B（a+2，2^a+2）滿足題設要求．
故選B．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握向量的有關運算與指數函數的性質，考查學生的理解并且運用新知識的能力，此題屬于中檔題，屬于新定義題時高考命題的熱點之一．