Question

(本小題滿分12分)已知圓，圓，動圓與圓外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線。

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于，兩點，當圓的半徑最長是，求。

 

Answer 1

【答案】

依題意，圓M的圓心，圓N的圓心，故，由橢圓定理可知，曲線C是以M、N為左右焦點的橢圓（左頂點除外），其方程為；

（2）對于曲線C上任意一點，由于（R為圓P的半徑），所以R=2，所以當圓P的半徑最長時，其方程為；

若直線l垂直于x軸，易得；

若直線l不垂直于x軸，設l與x軸的交點為Q，則，解得，故直線l：；有l與圓M相切得，解得；當時，直線，聯立直線與橢圓的方程解得；同理，當時，.

【解析】（1）根據橢圓的定義求出方程；（2）先確定當圓P的半徑最長時，其方程為，再對直線l進行分類討論求弦長.

【考點定位】本題考查橢圓的定義、弦長公式、直線的方程，考查學生的運算能力、化簡能力以及數形結合的能力.