Question

（2010•上虞市二模）已知函數f(x)=lnx+

1

x

+ax，其中x＞0，常數a∈R
（1）若函數f（x）在[1，+∞），上是單調函數，求a的取值范圍
（2）若函數f（x）在[1，+∞）有最大值

2

e

（其中e為無理數，約為2.71828），求a的值

Answer 1

分析：（1）已知函數f(x)=lnx+

1

x

+ax，求出其導數f（x）′，然后根據f（x）在[1，+∞），上是單調函數，說明函數f（x）在[1，+∞），有f（x）′＞0，從而求解；
（2）由題意根據（1）求出f（x）的單調區間，因為函數f（x）在[1，+∞）有最大值

2

e

，討論a的范圍，確定最值落在哪個區間，從而求出a的值．

解答：解：（1）∵f(x)=lnx+

1

x

+axf/(x)=

1

x

-

1

x2

+a
若f/(x)=

1

x

-

1

x2

+a≥0對x∈[1，+∞）恒成立，則a≥

1

x2

-

1

x

對x∈[1，+∞）恒成立，∴a≥0
若f/(x)=

1

x

-

1

x2

+a≤0對x∈[1，+∞）恒成立，則a≤

1

x2

-

1

x

對x∈[1，+∞）恒成立，∴a≤-

1

4

∴當函數f（x）在[1，+∞）上是單調函數時，
∴所求a的取值范圍為：a≥0或a≤-

1

4

；

（2）當a≥0時，函數f（x）在[1，+∞）上單調遞增，所以f（x）在[1，+∞）無最大值．
當a≤-

1

4

時，函數f（x）在[1，+∞）上單調遞減，所以由f(1)=

2

e

，得a=

2

e

-1＜-

1

4

當-

1

4

＜a＜0時，由f/(x)=

1

x

-

1

x2

+a＞0得ax²+x-1＞0，則α＜x＜β
（其中α=

-1+ 1+4a

2a

＞1，β=

-1- 1+4a

2a

＞-

1

2a

＞2）
∴函數f（x）在[1，α]上單調遞減，在[α，β]上單調遞增，在[β，+∞]上單調遞減，
由f(1)=

2

e

，得a=

2

e

-1＜-

1

4

，不符要求．
由f(β)=

2

e

，得lnβ+

1

β

+aβ=

2

e

，
又∵aβ2+β-1=0，∴aβ=

1

β

-1代入得lnβ+

2

β

-1=

2

e

設函數h(x)=lnx+

2

x

-1-

2

e

(x＞2)，則h/(x)=

1

x

-

2

x2

=

x-2

x2

＞0
所以函數h（x）在（2，+∞）上單調遞增，而h（e）=0
∴β=e，所以a=

1-β

β2

=

1-e

e2

∴當a=

2

e

-1或a=

1-e

e2

時，
函數f（x）在[1，+∞）有最大值

2

e

．

點評：此題主要考查函數導數與函數單調性之間的關系，要求學生掌握并會熟練運用導數判斷函數的單調性，難度比較大．