Question

（2010•上虞市二模）箱中裝有10張大小．重量一樣的卡片，每張卡片正面分別標有1到10中的一個號碼，正面號碼為n的卡片反面標的數字是

n2-9n+22

2

．（卡片正反面用顏色區分）．
（1）如果任意取出一張卡片，試求正面數字不大于反面數字的概率．
（2）如果同時取出兩張卡片，記ξ為兩張卡片中出現的四個數字中偶數的個數，求隨機變量ξ的分布列及其數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，正面數字不大于反面數字即n≤

n2-9n+22

2

，解可得n的值，由古典概型的計算公式，可得答案；
（Ⅱ）首先分析可得，正反面均為奇數的有3張，正反面均為偶數的有3張，正反面為一奇一偶的有4張，即ξ可取的值為0，1，2，3，4；分別計算其概率，可得ξ的分布列，由期望的計算公式，計算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由不等式n≤

n2-9n+22

2

，n∈{1，2，3…}，
解可得得n=1，2，9，10，
即共有4張卡片正面數字不大于反面數字，故所求的概率為

2

5

．
（Ⅱ）n=1，5，9時，n（n-9）+22為4的倍數加2，故其反面的數字為奇數；
n=3，7時，n（n-9）+22為4的倍數，故其反面的數字為偶數；
n=2，6，10時，n（n-9）+22為4的倍數，故其反面的數字為偶數；
n=4，8時，n（n-9）+22為4的倍數加2，故其反面的數字為奇數；
所以，正反面均為奇數的有3張，正反面均為偶數的有3張，正反面為一奇一偶的有4張，
據此列下表可得：

P（ξ=0）=

C 2 3

C 2 10

=

1

15

；P（ξ=1）=

C 1 3 C 1 4

C 2 10

=

4

15

；P（ξ=2）=

C 1 3 C 1 3 + C 2 4

C 2 10

=

5

15

；
P（ξ=3）=

C 1 3 C 1 4

C 2 10

=

4

15

；P（ξ=4）=

C 2 3

C 2 10

=

1

15

；
隨機變量ξ的分布列為

數學期望Eξ=

1

15

（4+10+12+4）=2．

點評：本題考查古典概型的計算與分布列、期望的計算，是典型的考試題目，平時要加強訓練．