Question

8．已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為3，焦距為6，
（1）求該雙曲線方程；
（2）是否存在過點P（1，1）的直線L與該雙曲線交于A，B兩點，且點P是線段AB 的中點？若存在，請求出直線L的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 1）設出雙曲線方程，由條件可得c，再由離心率公式．可得a，再由a，b，c的關系，可得b，進而得到雙曲線方程；
（2）假設存在，設過P（1，1）的直線方程為：y-1=k（x-1），A，B兩點的坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂），代入雙曲線方程，再相減，運用平方差公式和中點坐標公式，及斜率公式，即可得到所求直線的斜率，進而得到直線方程，檢驗判別式即可判斷．

解答 解：（1）設雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）
由離心率e=$\frac{c}{a}$=3，即c=3a，焦距為2c=6，則c=3，a=1，
b²=c²-a²=8，
則雙曲線方程為：x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（2）假設存在過點P（1，1）的直線l與該雙曲線交于A，B兩點，
且點P是線段AB的中點．
設過P（1，1）的直線方程為：y-1=k（x-1），A，B兩點的坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{8{x}_{1}^{2}-{y}_{1}^{2}=8}\\{8{x}_{2}^{2}-{y}_{2}^{2}=8}\end{array}\right.$，相減可得，8（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂）
由P為AB的中點，則x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
則k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=8，
即有直線AB的方程：y-1=8（x-1），即有y=8x-7，
$\left\{\begin{array}{l}{y=8x-7}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，整理得：56x²-112x+41=0，
檢驗判別式為△=112²-4×56×41=3360＞0，方程有兩個不相等實根．
故存在過點P（1，1）的直線l與該雙曲線交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點．
直線l的方程為y=8x-7．

點評 本題考查雙曲線的方程、性質和運用，考查點差法求中點問題，注意檢驗判別式的符號，考查運算能力，屬于中檔題．