Question

一個多面體的三視圖和直觀圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖均為矩形，側視圖為直角三角形，M是AB的中點．
（1）求證：CM⊥平面FDM；
（2）求二面角F-CM-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理、線面垂直的判定定理和性質定理即可證明；
（2）利用（1）的有關結論及二面角的定義可知∠FMD即為二面角F-CM-D的平面角，在Rt△FDM中利用正切函數即可求出．

解答：解：（1）證明：由正視圖和俯視圖均為矩形，側視圖為直角三角形，∴FD⊥DC，FD⊥AD，
∵AD∩DC=D，∴FD⊥平面ABCD，∴FD⊥CM．
∵AD=AM=MB=BC=a，∠DAM=∠CBM=90°，
∴DM=MC=

2

a，
∵CD=2a，∴DM²+CM²=CD²．
∴CM⊥DM．
又∵FD∩DM=D，∴CM⊥平面FDM．
（2）由（1）可知：CM⊥DM，CM⊥FM，∴∠FMD即為二面角F-CM-D的平面角．
由（1）可知：FD⊥平面ABCD，∴FD⊥DM．
在Rt_△FDM中，tan∠FMD=

FD

DM

=

a

2 a

=

2

2

．

點評：熟練掌握勾股定理、線面垂直的判定定理和性質定理、二面角的平面角的定義及作法、正切函數的定義是解題的關鍵．