Question

一個多面體的三視圖和直觀圖如圖所示，其中M、N分別是AB、SC的中點，P是SD上的一動點．
（1）求證BP⊥AC；
（2）當點P落在什么位置時，AP平行于平面SMC？
（3）求三棱錐B-NMC的體積．

Answer 1

分析：（1）根據多面體的三視圖和直觀圖，SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，可以證明AC⊥面SDB，從而BP⊥AC．
（2）當P為SD中點時，證明AMNP是平行四邊形，得出AP∥MN，根據直線和平面平行的判定定理證出AP∥平面SMC．
（3）體積轉化：V _B-NMC=V _N-MCB 則體積易求．

解答：解：（1）根據多面體的三視圖和直觀圖，SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，∴AC⊥BD，AC⊥SD，BD∩SD=D，∴AC⊥面SDB．BP?面SDB∴BP⊥AC．
（2）當P為SD中點時，AP∥平面SMC．連接PN，MN，∵M、N分別是AB、SC的中點，∴PN∥CD，PN=

1

2

CD，AM∥CD，AM=

1

2

CD，∴AMNP是平行四邊形，∴AP∥MN，∵AP?面SMC，MN?面SMC，∴AP∥平面SMC
（3）S△MCB=

1

2

×BM×BC=

1

2

×

1

2

×1=

1

4

，N到面ABCD的高h=

1

2

SD=1，
∴V _B-NMC=V _N-MCB=

1

3

S△MCB×h=

1

3

×

1

4

×1=

1

12

．

點評：本題考查直線直線，直線和平面的位置關系，體積的計算，考查空間想象、轉化、計算的能力．在有關于平行的位置關系時，找平行線是解決問題的一個重要技巧，一般的“遇到中點找中點，平行線即可出現”．