Question

某電器公司生產A種型號的家庭電腦.1996年平均每臺電腦生產成本為5 000元，并以純利潤20%標定出廠價.1997年開始，公司更新設備，加強管理，逐步推行股份制，從而使生產成本逐年降低.2000年平均每臺A種型號的家庭電腦盡管出廠價僅是1996年出廠價的80%，但卻實現了純利潤50%的高效率.求

（1）2000年每臺電腦的生產成本；

（2）以1996年的生產成本為基數，用二分法求1996～2000年生產成本平均每年降低的百分數（精確到0.01）.

Answer 1

解：第（1）問是價格和利潤的問題，銷售總利潤可以按每臺來算,也可以按實現50%的利潤來算，從而找出等量關系；第（2）問是增長率問題，要注意列出方程后，用二分法求解，但應用二分法時注意合理使用計算器.

（1）設2000年每臺電腦的成本為p元，根據題意，得

p（1+50%）=5 000×（1+20%）×80%，解得p＝3 200（元）.?

故2000年每臺電腦的生產成本為3200元.

（2）設1996～2000年間每年平均生產成本降低的百分率為x，根據題意，得

5000（1－x）⁴=3200（0＜x＜1）.

令f（x）=5 000（1－x）⁴－3 200，作出x、f（x）的對應值表，如下表:

x	0	0.15	0.3	0.45	0.6	0.75	0.9	1.05
F(x)	1800	-590	-2000	-2742	-3072	-3180	-3200	-3200

　　觀察上表，可知f（0）·f（0.15）＜0，說明此函數在區間（0，0.15）內有零點x ₀.

取區間（0，0.15）的中點x ₁=0.075，用計算器可算得f（0.075）≈460.因為f（0.075）·?f（0.15）＜0，所以x ₀∈（0.075，0.15）.

再取（0.075，0.15）的中點x ₂=0.112 5，用計算器可算得f（0.112 5）≈－98.因為

f（0.075）·f（0.112 5）＜0，所以x ₀∈（0.075，0.112 5）.

同理，可得x ₀∈（0.009 375，0.112 5），x ₀∈（0.103 125，0.112 5），x ₀∈（0.103 125，0.107 812 5），x ₀∈（0.105 468 75，0.107 812 5）.

由于|0.107 812 5－0.105 468 75|＝0.002 343 75＜0.01，此時區間（0.105 468 75，0.107 812 5）的兩個端點精確到0.01的近似值都是0.11，所以原方程精確到0.01的近似解為0.11.

1996～2000年生產成本平均每年降低的百分數為11%.