Question

某電器公司生產A種型號的家庭電器.1996年平均每臺電腦生產成本為5 000元，并以純利潤20%標定出廠價.1997年開始，公司更新設備，加強管理，逐步推行股份制，從而使生產成本逐年降低.2000年平均每臺A種型號的家庭電腦盡管出廠價僅是1996年出廠價的80%，但卻實現了純利潤50%的高效率.求：

（1）2000年每臺電腦的生產成本；

（2）以1996年的生產成本為基數，用二分法求1996—2000年生產成本平均每年降低的百分數（精確到0.01）.

Answer 1

解析:這是一個降低成本提高效率的問題.注意：這里“以純利潤20%標定出廠價”指成本的20%.成本+利潤=出廠價；利潤=成本×利潤率.

解：（1）設2000年每臺電腦的成本為p元，根據題意，得

p(1+50%)=5 000×(1+20%)×80%，解得p=3 200（元）.

（2）設1996—2000年間每年平均生產成本降低的百分率為x，根據題意，得5 000(1-x)⁴=3 200(0＜x＜1＝，令f(x)=5 000(1-x)⁴-3 200，作出x、f(x)的對應值表，如下表：

x	0	0.15	0.3	0.45	0.6	0.75	0.9	1.05
f(x)	1 800	-590	-2 000	-2 742	-3 072	-3 180	-3 200	-3 200

    觀察上表，可知f(0)·f(0.15)＜0，說明此函數在區間（0，0.15）內有零點x₀，

    取區間（0，0.15）的中點x₁=0.075，用計算器可算得

f(0.075)≈460，因為f(0.075)·f(0.15)＜0，所以x₀∈(0.075,0.15)再取（0.075，0.15）的中點x₂=0.112 5，用計算器可算得f(0.112 5)≈-98，

    因為f(0.075)·f(0.112 5)＜0，所以x₀∈(0.075,0.112 5).

    同理，可得x₀∈(0.009 375,0.112 5)，x₀∈(0.103 125,0.112 5)，

x₀∈(0.103 125,0.107 812 5),x₀∈(0.105 468 75,0.107 812 5).

    由于|0.107 812 5-0.105 468 75|=0.002 343 75＜0.01，此時區間（0.105 468 75，0.107 812 5）的兩個端點精確到0.01的近似值都是0.11，所以原方程精確到0.01的近似解為0.11.

答：（1）2000年每臺電腦的生產成本為3 200元；

（2）1996—2000年生產成本平均每年降低的百分數為11%.