Question

已知α∈(0，

π

2

)，f(α)=

1

sinα

+

8

cosα

，則f（α）最小值為

 

．

Answer 1

分析：求出f（α）的導數f′（α），通過討論f′（α）的零點，得出函數的單調性，再由單調性找到函數的最小值點，利用同角三角函數的關系，可以求出這個最小值．

解答：解：f /(α)=

-cosα

(sinα) 2

+

8sinα

(cosα) 2

，
令f′（α）=0，得2sinα=cosα
設滿足條件的α為α₀，可得
當α∈（0，α₀）時，f′（α）＜0，當α∈(α0，

π

2

)時，f′（α）＞0，
故函數的單調遞減區間為（0，α₀），故函數的單調遞增區間為(α0，

π

2

)
所以函數的最小值為f（α₀），
由

2sinα 0=cosα 0 sinα   2 0 +cosα   2 0 =1

且α∈(0，

π

2

)，得

sinα 0= 1 5 cosα 0= 2 5

故f(α 0) =

1

1 5

+

8

2 5

=5

5

，
所以函數的最小值為5

5

點評：本題考查了利用導數工具來求函數的最值問題，屬于中檔題．在找出函數的最小值點時，利用同角三角函數關系求出角的正弦值和余弦值，得出最小值是解決問題的關鍵．