Question

若不等式

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

a

24

對一切正整數n都成立，
（1）猜想正整數a的最大值，
（2）并用數學歸納法證明你的猜想．

Answer 1

（1）當n=1時，

1

1+1

+

1

1+2

+

1

3+1

＞

a

24

，即

26

24

＞

a

24

，
所以a＜26，
a是正整數，所以猜想a=25．
（2）下面利用數學歸納法證明

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

，
①當n=1時，已證；
②假設n=k時，不等式成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

＞

25

24

，
則當n=k+1時，
有

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

3(k+1)+1

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

＞

25

24

+[

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

]
因為

1

3k+2

+

1

3k+4

=

6(k+1)

9k2+18k+8

＞

2

3(k+1)

所以

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

2

3(k+1)

＞0，
所以當n=k+1時不等式也成立．
由①②知，對一切正整數n，都有

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

＞

25

24

，
所以a的最大值等于25．…（14分）