Question

（本小題滿分12分）如圖，正方形所在的平面與平面垂直，是和的交點，，且．

   （1）求證：平面；

   （2）求直線與平面所成的角的大小；

   （3）求二面角的大小．

Answer 1

(Ⅰ) 見解析   (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

法一：(Ⅰ)∵四邊形是正方形，

．   ………………………1分

∵平面平面，又∵，

平面．          ……………………2分

平面，．……………3分

平面．            ………………4分

 (Ⅱ)連結，

平面，

是直線與平面所成的角． ………5分

設，則

，，   ………………………6分

， ． 

即直線與平面所成的角為…8分

（Ⅲ）過作于，連結．   ……………………9分

平面，．平面．

是二面角的平面角． ……10分

∵平面平面，平面．

．

在中， ，有．

由(Ⅱ)所設可得

，，

．  ………………10分

．．

∴二面角等于．      ……………………12分

解法二: ∵四邊形是正方形 ，，

∵平面平面，平面，     ………2分

∴可以以點為原點，以過點平行于的直線為軸，

分別以直線和為軸和軸，建立如圖所示的空

間直角坐標系．

設，則

，

      是正方形的對角線的交點，

．……………4分

（Ⅰ），，

，

，   ……………………………………4分

平面．  ………………5分

（Ⅱ） 平面，為平面的一個法向量，…………6分

，．……………7分

．∴直線與平面所成的角為．   ……8分

(Ⅲ) 設平面的法向量為，則且，

且．

      即

取，則， 則．………………10分

又∵為平面的一個法向量，且，

，設二面角的平面角為，則，．∴二面角等于．…12分