Question

四面體ABCD的四個頂點在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，AC=，BD=，則該球的表面積為（ ）
A．14π
B．15π
C．16π
D．18π

Answer 1

【答案】分析：取BD中點F，AC中點E，由等腰三角形三線合一，及線面垂直的判定定理，可得BD⊥面AFC，及AC⊥面BED．由韋達定理可得BE=DE=，EF=，結合EF=+，可得球的半徑R，進而得到球的表面積
解答：解：如左圖，取BD中點F，AC中點E
由AB=BC=CD=DA=3，可得
CF⊥BD，AF⊥BD，
又∵CF∩AF=F，CF，AF?平面AFC，
故BD⊥面AFC
同理AC⊥面BED
故球心O必位于兩垂直平面面AFC和面BED的交線EF上
又∵AC=，BD=
故BE=DE=，EF=
設外接球半徑為R，如右圖（△AEO與△BFO不在同一平面）
利用EF=+
解得R=
故該球的表面積S=4πR²=14π．
故選A
點評：本題考查的知識點是球內接多面體，球的表面積，其中分析出球心O必位于兩垂直平面面AFC和面BED的交線EF上，是解答的關鍵．