Question

四面體ABCD的四個頂點在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，AC=2

3

，BD=

6

，則該球的表面積為（　　）

A．14π

B．15π

C．16π

D．18π

Answer 1

分析：取BD中點F，AC中點E，由等腰三角形三線合一，及線面垂直的判定定理，可得BD⊥面AFC，及AC⊥面BED．由韋達定理可得BE=DE=

6

，EF=

3 2

2

，結合EF=

R2-AE2

+

R2-BF2

，可得球的半徑R，進而得到球的表面積

解答：解：如左圖，取BD中點F，AC中點E
由AB=BC=CD=DA=3，可得
CF⊥BD，AF⊥BD，
又∵CF∩AF=F，CF，AF?平面AFC，
故BD⊥面AFC
同理AC⊥面BED
故球心O必位于兩垂直平面面AFC和面BED的交線EF上
又∵AC=2

3

，BD=

6

故BE=DE=

6

，EF=

3 2

2

設外接球半徑為R，如右圖（△AEO與△BFO不在同一平面）
利用EF=

R2-AE2

+

R2-BF2

解得R=

14

2

故該球的表面積S=4πR²=14π．
故選A

點評：本題考查的知識點是球內接多面體，球的表面積，其中分析出球心O必位于兩垂直平面面AFC和面BED的交線EF上，是解答的關鍵．