Question

如圖，已知點P是邊長為1的正方形ABCD所在平面外一點，且PA⊥平面ABCD，點E為PD中點．
（1）求證：PB∥平面EAC；
（2）求異面直線PB與AC所成的角的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）連結BD交AC于O點，連結EO，根據OE是三角形PBD的中位線可得EO∥PB，再利用直線和平面平行的判定定理證得 PB∥平面ACE．
（2）設PA=x，求得PB=PD=

x2+1

，AE=

1

2

PD=

x2+1

2

，OE=

1

2

PB=

x2+1

2

，可得△AEO為等腰三角形，且∠EAO=∠EOA．由此可得∠EOA即為異面直線PB與AC所成的角．取OA的中點M，在Rt△EMO中，求得cos∠EOA=

OM

OE

 的范圍，可得直線PB與AC所成的角的取值范圍．

解答：（1）證明：連結BD交AC于O點，連結EO，
因為點E為PD中點，點O為BD中點，故OE是三角形PBD的中位線．
所以EO∥PB，又PB不在平面ACE上，
EO在平面ACE內，所以PB∥平面ACE． …（6分）
（2）解：設PA=x，則PB=PD=

x2+1

，
在Rt△PAD中，AE是其中線，AE=

1

2

PD=

x2+1

2

，
在△PBD中，OE是其中位線，OE=

1

2

PB=

x2+1

2

，
所以△AEO為等腰三角形，且∠EAO=∠EOA．…（8分）
∵EO∥PB，則∠EOA即為異面直線PB與AC所成的角．…（10分）
取OA的中點M，則EM⊥AO，在Rt△EMO中，
cos∠EOA=

OM

OE

=

2 4

x2+1 2

=

1

2 • x2+1

，（x＞0）．
∵x²+1＞1，∴cos∠EOA＜

2

2

，

π

4

＜∠EOA＜

π

2

，
所以異面直線PB與AC所成的角的取值范圍是(

π

4

，

π

2

)．…（12分）

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應用，異面直線所成的角的定義和求法，屬于中檔題．