Question

如圖，橢圓的離心率為，軸被曲線截得的線段長等于的短軸長。與軸的交點為，過坐標原點的直線與相交于點，直線分別與相交于點。

（1）求、的方程；
（2）求證：。
（3）記的面積分別為，若，求的取值范圍。

Answer 1

（1）；（2）見解析；（3） .

解析試題分析：（1）利用橢圓的幾何性質，建立的方程組即得；
（2）通過設直線并聯立 應用韋達定理及平面向量的坐標運算證得，從而得到 ；
（3）通過設直線，聯立方程組，；
聯立，
利用三角形面積公式分別計算,用表示，從而得到.
試題解析：
（1）              （1分）
又，得           （2分）
（2）設直線則  （3分）
=0
                        （5分）
（3）設直線
，同理可得 
            （8分）

同理可得
               （2分）
              （13分）
考點：橢圓的幾何性質，直線與圓錐曲線的位置關系，韋達定理，平面向量的數量積，基本不等式.