Question

【題目】設函數f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2時取得極值． （Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若對任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b， 因為函數f（x）在x=1及x=2取得極值，則有f'（1）=0，f'（2）=0．
即
解得a=﹣3，b=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c，f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．
當x∈（0，1）時，f'（x）＞0；
當x∈（1，2）時，f'（x）＜0；
當x∈（2，3）時，f'（x）＞0．
所以，當x=1時，f（x）取得極大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．
則當x∈[0，3]時，f（x）的最大值為f（3）=9+8c．
因為對于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c2恒成立，
所以9+8c＜c2 ，
解得c＜﹣1或c＞9，
因此c的取值范圍為（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．
【解析】（1）依題意有，f'（1）=0，f'（2）=0．求解即可．（2）若對任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立f（x）max＜c2在區間[0，3]上成立，根據導數求出函數在[0，3]上的最大值，進一步求c的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．