Question

設函數f（x）=

a

•

b

，其中

a

=（m，cos2x），

b

=（1+sin2x，1），x∈R，且函數y=f（x）的圖象經過點（

π

4

，2）．
（Ⅰ）求實數m的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的最小值及此時x的值的集合；
（Ⅲ）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）先根據

a

和

b

求得函數f（x）的解析式，進而把點（

π

4

，2）代入即可求得m．
（2）把m的值代入函數解析式，利用兩角和公式化簡整理后，利用三角函數的性質能求得函數取最小值時x的值的集合．
（3）根據整理出來的函數的表達式，利用正弦函數的單調性可求得函數的單調遞區間．

解答：解：（1）f（x）=a•b=m（1+sin2x）+cos2x，
∵圖象經過點（

π

4

，2），
∴f（

π

4

）=m（1+sin

π

2

）+cos

π

2

=2，解得m=1；
（2）當m=1時，f（x）=1+sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
∴f(x)min=1-

2

，
此時2x+

π

4

=-

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得函數f（x）的最小值時x的值的集合{x=-

3π

8

+kπ，k∈Z}．
（3）函數的增區間：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
由此解得函數的增區間為：[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z．
函數的減區間：

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z．
由此解得函數的減區間：[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]，k∈Z．

點評：本題主要考查了三角函數周期性及其求法，三角函數的公式變形，基本運算，和三角函數的圖象及其性質，考查面比較廣，是一道好題．