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a、b、c∈R，求證:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c),當且僅當a=b=c時取等號.

思路分析:由于a4+b4≥2a2b2，說明了運用均值不等式，可以找到左式與中間式的關系.同樣地a2b2+b2c2≥2ab2c,而ab2c就是右式中的一項.

證明:∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,

∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),

即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.

又∵a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2bc2a,c2a2+a2b2≥2a2bc,

∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+bc2a+a2bc),

即a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).

以上各式當且僅當a=b=c時取等號.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（1）a，b，c∈R，求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ca（綜合法證明）
（2）求證：
2
-
3
＜
6
-
7
（分析法證明）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）a，b，c∈R，求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ca；
（2）求證：
a
-
a+3
＜
a+2
-
a+5
（a≥0）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（一）已知a，b，c∈R+，
①求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；
②若a+b+c=1，利用①的結論求ab+bc+ac的最大值．
（二）已知a，b，x，y∈R+，
①求證：
x2
a
+
y2
b
≥
(x+y)2
a+b
．
②利用①的結論求
1
2x
+
9
1-2x
(0＜x＜
1
2
)的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a，b，c∈R+，求證：
a
b+c
+
b
a+c
+
c
a+b
≥
3
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a，b，c∈R+，求證：
a2+b2+c2
3
≥
a+b+c
3
．

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同步練習冊答案
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